Matematik A/Funktionsanalyse: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Linje 17:
== Maksimum- og minimumspunkter ==
Disse maksimums- og minimumspunkter, går under ét navn, nemlig '''ekstremumspunkter'''.
Definitionen er ganske enkel. De punkter på en graf hvor den "topper", eller har de højeste/mindste y-værdier.
For at sætte tingene i perspektiv har en ret linje ingen ekstremumspunkter, alt imens en parabel har enten ét maksimumspunkt eller ét minimumspunkt, og så fremdeles. Læg mærke til at det er ''meget vigtigt'' i forbindelse med funktionsundersøgeælse at angive hvorvidt der er tale om et maksimum eller et minimum.
Den mest præcise definition forbliver dog de punkter på en graf hvor '''''hældningen til tangenten er lig nul'''''. Dette har vi faktisk et "værktøj" til. Når man differentierer en funktion finder man nemlig hældningen til en tangent i et punkt på linjen. Når man så sætter den differentierede funktion lig nul, finder man så de punkter hvor hældningen til tagenten er nul, eller vandret sagt på en anden måde. Det må nødvendigvis være disse punkter vi leder efter i denne forbindelse. Ekstremumspunkter findes altså på følgende måde:
<math> \frac{d}{dx} f(x) = 0</math>
Man kan også tale om '''lokale ekstremumspunkter'''. Det vil eksempelvis sige et maksimumspunkt i et udsnit af en graf, hvilket vil vise sig nyttigt i forbindelse med periodiske funktioner eller trigonometriske funktioner.
===Eksempel===
Lad os gennemgå et eksempel, for at se principperne i ekstremumspunkter. Vi har givet en funktion der ser således ud:
<math>f(x) = 2 \cdot x^2 - 3 \cdot x + 4</math>
Nu differentierer man så funktionen og sætter lig nul:
<math> \frac{d}{dx} f(x) = 4 \cdot x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4 \cdot x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4} </math>
Nu ved vi så at vi har et ekstremumspunkt i punktet <math> \left( \frac{3}{4} , f\left( \frac{3}{4} \right) \right) </math>
og ud fra princippet om at fortegnet på andengradsleddet er positivt kan vi lige nøjagtig i dette tilfælde sige at det er et minimumspunkt, men under normale omstændigheder kan man være nødsaget til at skulle undersøge værdierne hhv. til højre og venstre for punktet, eller alternativt undersøge det på grafregneren.
== Skæring med akserne ==
| |||