Matematik A/Funktionsanalyse

Funktionsanalyse er beregning af:

• Monotoniforhold
• Maksimumspunkter
• Minimumspunkter
• Skæring med x-aksen
• Skæring med y-aksen
• Definitionsmængde
• Værdimængde
• Vandret asymptote
• Lodret asymptote
• Skrå asymptote

Funktionsanalyse bruges som regel til at beskrive og identificere nogle egenskaber ved ens funktion og graf. Men de kan også bruges i tilfælde med egentlig problemstillinger som skal løses.

Monotoniforhold

Når man i forbindelse med en funktion bliver bedt om at angive monotoniforholdet, betyder dette, at man skal angive i hvilket interval funktionen er henholdsvis stigende og aftagende.

f’(x) angiver om funktionen er voksende eller aftagende. Dvs. hvis funktionen er voksende, så vil tangentens hældning være positiv. Hvor f’(x)≥ 0 Eller hvis negativ, f’(x)≤ 0

Maksimum- og minimumspunkter

Disse maksimums- og minimumspunkter, går under ét navn, nemlig ekstremumspunkter.

Definitionen er ganske enkel. De punkter på en graf hvor den "topper", eller har de højeste/mindste y-værdier. For at sætte tingene i perspektiv har en ret linje ingen ekstremumspunkter, alt imens en parabel har enten ét maksimumspunkt eller ét minimumspunkt, og så fremdeles. Læg mærke til at det er meget vigtigt i forbindelse med funktionsundersøgelse at angive hvorvidt der er tale om et maksimum eller et minimum.

Den mest præcise definition forbliver dog de punkter på en graf hvor hældningen til tangenten er lig nul. Dette har vi faktisk et "værktøj" til. Når man differentierer en funktion finder man nemlig hældningen til en tangent i et punkt på linjen. Når man så sætter den differentierede funktion lig nul, finder man så de punkter hvor hældningen til tagenten er nul, eller vandret sagt på en anden måde. Det må nødvendigvis være disse punkter vi leder efter i denne forbindelse. Ekstremumspunkter findes altså på følgende måde:

${\frac {d}{dx}}f(x)=0$

Man kan også tale om lokale ekstremumspunkter. Det vil eksempelvis sige et maksimumspunkt i et udsnit af en graf, hvilket vil vise sig nyttigt i forbindelse med periodiske funktioner eller trigonometriske funktioner.

Eksempel

Lad os gennemgå et eksempel, for at se principperne i ekstremumspunkter. Vi har givet en funktion der ser således ud:

$f(x)=2\cdot x^{2}-3\cdot x+4$

Nu differentierer man så funktionen og sætter lig nul:

${\frac {d}{dx}}f(x)=4\cdot x-3=0\Leftrightarrow 4\cdot x=3\Leftrightarrow x={\frac {3}{4}}$

Nu ved vi så at vi har et ekstremumspunkt i punktet $\left({\frac {3}{4}},f\left({\frac {3}{4}}\right)\right)=\left({\frac {3}{4}},{\frac {23}{8}}\right)$ og ud fra princippet om at fortegnet på andengradsleddet er positivt kan vi lige nøjagtig i dette tilfælde sige at det er et minimumspunkt, men under normale omstændigheder kan man være nødsaget til at skulle undersøge værdierne hhv. til højre og venstre for punktet, eller alternativt undersøge det på grafregneren. Kan være svært at forstå men giver dog menning når man over vejer hvad man skal bruge det til, nemlig at finde funktions stræknings som deffinationsmængden og værdimængden.

Skæring med akserne

I dette afsnit ser vi på hvordan man beregner skæringspunkterne ud, for hvor grafen skærer hhv. y-aksen og x-aksen.

Skæring med y-aksen

En funktion kan kun skære y-aksen et sted, og det er der hvor x = 0. Skæringspunktet med y-aksen er derfor.

$(0,f(0))\,$

Det vil jo også forekomme ganske logisk, eftersom skæringen også er den egentlige funktionsværdi i punktet.

Skæring med x-aksen

Skæringen med x-aksen udregnes ved at løse ligningen:

$0=f(x)\,$

Ved at løse ligningen fremkommer en eller flere x-værdier - Det er de steder hvor f(x) = 0, og dermed x-aksen.

Asymptoter

Asymptoter er lidt løst defineret en linje som en funktion vil tilnærme, men aldrig nogensinde vil skære. Der findes, som man kan se nedenfor tre forskellige typer af asymptoter, hhv. lodrette, vandrette og skrå. Her følger et eksempel for at illustrere algoritmen for undersøgelse af asymptoter:

1. Indledende får man en funktion givet, i dette eksempel bruges 1 over x: $y={\frac {1}{x}}$

2. Nu undersøger man så for huller i definitionsmængden. Dvs. de x-værdier hvor nævneren er nul. Her vil det naturligvis kun være nul der giver et "hul", men hvis nævneren havde været et polynomium, kunne der sagtens være flere. Nu tilnærmer man sig så x-værdien hhv. fra venstre og fra højre. Notationen der bruges er almen brugt notation for denne undersøgelse. En huskeregel er at når der står plus går man fra tal der er større end x-værdien man undersøger for:

$y\rightarrow -\infty$ for $x\rightarrow 0^{-}$

og $y\rightarrow \infty$ for $x\rightarrow 0^{+}$

3. Til sidst lader man sin funktion gå mod hhv. minus uendelig og uendelig, for at undersøge om der skulle være vandrette asymptoter.

$y\rightarrow 0$ for $x\rightarrow -\infty$

og $y\rightarrow 0$ for $x\rightarrow \infty$

4. Man kan nu konkludere at der er en vandret og en lodret asymptote:

Lodrette asymptoter: $x=0$

Vandrette asymptoter: $y=0$