Matematik A/Eksponentielle Funktioner: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Tilføjelse og rettelse af fejl, mangler og upræcisheder |
|||
Linje 1:
Eksponentielle funktioner anvendes bl.a. til at beskrive en
== Definition ==
En funktion er en
<math>f(x) = b \cdot a^x \,</math>
hvor <math>b</math> kaldes begyndelsesværdien og <math>a</math> kaldes fremskrivningsfaktoren.
Begyndelsesværdien er det punkt, hvor funktionen skærer y-aksen. Med andre ord, funktionen går altid gennem <math>(0,b)</math>. Dette ses ved at udregne funktionsværdien når <math>x=0</math>, dvs. ved y-aksen:
* Hvis a < 1, vil funktionen være aftagende▼
* Hvis a = 1, vil funktionen være en ret linje gennemgående (0,b) og (1,<math>b \cdot a</math>)▼
* Hvis a > 1, vil funktionen være voksende▼
<math>f(0)=b\cdot a^0 = b\cdot 1 = b</math>
En eksponentialfunktion er en funktion, der kan skrives på formen
Bevis:▼
▲<math>y1 = b*a^x2</math>
<math>y2 = b*a^x1</math>▼
Det ses, at en eksponentialfunktion også er en eksponentiel funktion (da hvis man sætter <math>b=1</math> får man en eksponentialfunktion), men ikke alle eksponentielle funktioner er eksponentialfunktioner.
== Udseende ==
Eksponentielle funktioner kan se vidt forskellige ud, alt efter hvilke værdier <math>a</math> og <math>b</math> har.
▲* Hvis a < 1, vil funktionen være ekspoentielt aftagende.
▲* Hvis a = 1, vil funktionen være en ret linje gennemgående (0,b) og
▲* Hvis a > 1, vil funktionen være eksponentielt voksende.
== Formler ==
=== Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter ===
Hvis du har 2 punkter <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math> kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne <math>a</math> og <math>b</math>. De beregnes på følgende måde:
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
<math>b=\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
▲''Bevis:''
Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, dvs. en funktion, der skrives på formen
hvor man skal regne ud af <math>a</math> og <math>b</math> er.
Da <math>f(x)</math> skal gå gennem <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, skal følgende ligninger gælde:
<math>\begin{array}{l} f(x_1)=y_1 \\ f(x_2)=y_2 \end{array}</math>
Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås
<math>\begin{array}{l} b\cdot a^{x_1}=y_1 \\ b\cdot a^{x_2}=y_2 \end{array}</math>
Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere <math>b</math>:
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
Da vi har 2 udtryk for <math>b</math>, kan disse sættes sammen:
<math>\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
Og så isoleres <math>a</math>:
<math>a^{x_2} \cdot y_1=a^{x_1}\cdot y_2</math>
<math>a^{x_2}=a^{x_1}\cdot \frac{y_2}{y_1}</math>
<math>\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}</math>
<math>a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}</math>
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
Værdien <math>b</math> beregnes ved at indsæte <math>a</math>-værdien i en af de 2 forskrifter.
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.
[[Kategori:Matematik A|Eksponentielle Funktioner]]
|