Wikibooks

Matematik A/Eksponentielle Funktioner: Forskelle mellem versioner

Gennemse historikken interaktivt
← Forrige ændringNæste ændring →
Content deleted Content added
VisueltWikitekst
Tilføjelse og rettelse af fejl, mangler og upræcisheder
Linje 1:
Eksponentielle funktioner anvendes bl.a. til at beskrive en udviklingeksponentielle udviklinger, der foregår over tid. Det kunne for eksempel omhandlevære udviklingenrentetilskrivning af enformue kapitaleller gæld, medhvor enrenten fastlagter rente,fast. ogDet hvorledeskan rentenogså påvirkerbruges kapitalentil overat længereregne tidbefolkningstal ud med.
 
== Definition ==
En funktion er en eksponentialeksponentiel funktion, når man har en koefficient gange en potens-funktion, hvor eksponenten er den uafhængige variabel. Forskriften for en eksponential funktion er:
 
<math>f(x) = b \cdot a^x \,</math>
 
hvor <math>b</math> kaldes begyndelsesværdien og <math>a</math> kaldes fremskrivningsfaktoren.
Hvor b er skæring med y-aksen og a er udtryk for hastigheden af udviklingen. Desuden bør fire følgende ting fastslås:
 
Begyndelsesværdien er det punkt, hvor funktionen skærer y-aksen. Med andre ord, funktionen går altid gennem <math>(0,b)</math>. Dette ses ved at udregne funktionsværdien når <math>x=0</math>, dvs. ved y-aksen:
* Værdien for a skal altid være over 0
* Hvis a < 1, vil funktionen være aftagende▼
* Hvis a = 1, vil funktionen være en ret linje gennemgående (0,b) og (1,<math>b \cdot a</math>)▼
* Hvis a > 1, vil funktionen være voksende▼
 
<math>f(0)=b\cdot a^0 = b\cdot 1 = b</math>
De sidste tre punkter vil også fremgå, hvis man prøver at tegne graferne for dem.
 
En eksponentialfunktion er en funktion, der kan skrives på formen
Bevis:▼
 
<math>y1f(x) = b*a^x2x \,</math>▼
Vi har 2 punkter på grafen for en eksponentiel udvikling.
▲<math>y1 = b*a^x2</math>
<math>y2 = b*a^x1</math>▼
 
Det ses, at en eksponentialfunktion også er en eksponentiel funktion (da hvis man sætter <math>b=1</math> får man en eksponentialfunktion), men ikke alle eksponentielle funktioner er eksponentialfunktioner.
så kan man dividere de to ligninger
 
== Udseende ==
<math>(y2/y1)=(b*a^x2/b*a^x1)</math>
Eksponentielle funktioner kan se vidt forskellige ud, alt efter hvilke værdier <math>a</math> og <math>b</math> har.
<=>
<math>(a^x2)/(a^x1)</math>
<=>
<math>a^x2-x1</math>
 
▲* Hvis a < 1, vil funktionen være ekspoentielt aftagende.
Det kan så igen omskrives til:
▲* Hvis a = 1, vil funktionen være en ret linje gennemgående (0,b) og (1,<math>ber \cdotparallel a</math>)med x-aksen.
▲* Hvis a > 1, vil funktionen være eksponentielt voksende.
 
== Formler ==
(y2/y1)^(x2-x1)
 
=== Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter ===
Hvis du har 2 punkter <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math> kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne <math>a</math> og <math>b</math>. De beregnes på følgende måde:
 
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
 
<math>b=\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
 
▲''Bevis:''
 
Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, dvs. en funktion, der skrives på formen
 
▲<math>y2f(x) = b* \cdot a^x1x</math>
 
hvor man skal regne ud af <math>a</math> og <math>b</math> er.
 
Da <math>f(x)</math> skal gå gennem <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, skal følgende ligninger gælde:
 
<math>\begin{array}{l} f(x_1)=y_1 \\ f(x_2)=y_2 \end{array}</math>
 
Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås
 
<math>\begin{array}{l} b\cdot a^{x_1}=y_1 \\ b\cdot a^{x_2}=y_2 \end{array}</math>
 
Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere <math>b</math>:
 
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
 
Da vi har 2 udtryk for <math>b</math>, kan disse sættes sammen:
 
<math>\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
 
Og så isoleres <math>a</math>:
 
<math>a^{x_2} \cdot y_1=a^{x_1}\cdot y_2</math>
 
<math>a^{x_2}=a^{x_1}\cdot \frac{y_2}{y_1}</math>
 
<math>\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}</math>
 
<math>a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}</math>
 
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
 
Værdien <math>b</math> beregnes ved at indsæte <math>a</math>-værdien i en af de 2 forskrifter.
 
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
 
Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.
 
Det er det samme som at tage den "x2-x1"'ne rod af y2/y1
[[Kategori:Matematik A|Eksponentielle Funktioner]]
Hentet fra "https://da.wikibooks.org/wiki/Matematik_A/Eksponentielle_Funktioner"