Matematik A/Ligninger: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Bisgaard (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved 85.218.143.226, fjerner ændringer fra 87.49.151.54 |
|||
Linje 50:
<math>x = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}</math>
===Specialtilfælde===
1) <math>c = 0</math>:
<math>a\cdot x^2 + b\cdot x = 0 \Leftrightarrow x( a\cdot x + b) = 0 </math>
Dette giver følgende to løsninger:
<math> \left( x=0 \right) \wedge \left( a\cdot x + b = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-b}{a} \right) </math>
2) <math>b = 0</math>:
<math> a\cdot x^2 + c = 0 \Leftrightarrow a\cdot x^2 = -c </math>
Dette giver løsningerne:
<math> x = \sqrt{\frac{-c}{a}} \wedge x = -\sqrt{\frac{-c}{a}}</math>
===Faktorisering af andengradspolynomiet===
Vi benævner de to løsninger til et givet andengradspolynomium ''s'' og ''t'' - det kan evt. være tilfældet at ''s=t''. Vi ønsker nu at vise, at andengradspolynomiet kan faktoriseres til <math>a(x-s)(x-t)</math>. Beviset går som følger:
<math>f(x)=a(x-s)(x-t) \Leftrightarrow</math>
<math>f(x)=a(x^2-(s+t)x+st) \qquad(1)</math>
Vi substituerer nu s og t med løsningsformlens udtryk for rødderne: <math>s=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}</math> og <math>t=\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}</math>
I udtrykket (1) indgår både summen og produktet af rødderne, så dem udregner vi på forhånd:
<math>s+t=\frac{-b+\sqrt{d}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{-b}{a}</math>
<math>s\cdot t= \frac{-b+\sqrt{d}}{2a}\cdot \frac{-b-\sqrt{d}}{2a}=\frac{b^2-d}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{c}{a}</math>
Dette indsættes nu i (1):
<math>f(x)=a(x^2-(s+t)x+st)=a(x^2-\frac{-b}{a}x+\frac{c}{a})=ax^2+bx+c</math>
Vi har hermed vist, hvordan andengradspolynomiet kan faktoriseres, hvis man kender dets rødder. Dette er nyttigt til f.eks. at forkorte brøker.
== Tredjegradsligninger ==
| |||