Matematik A/Funktioner: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
+ noget "lægmands-forklaring" på funktioner og deres definitions- og værdimængder. |
|||
Linje 1:
I dette kapitel kigger vi nærmere på begrebet ''matematisk funktion''.
Man kan forestille sig en funktion som en slags "maskine": Man putter et tal ind i maskinen, hvorefter tallet bliver "forvandlet" til et nyt tal, som til sidst kommer ud af maskinen.<br>
Det tal der kommer ud af maskinen, afhænger nøje af hvilket tal man starter med at putte i den; har man én gang fundet ud af at maskinen forvandler f.eks. et 3-tal til 75, kan man være stensikker på at hver ''eneste'' gang man giver den tallet 3, får man ''med garanti altid'' 75 ud af denne "funktions-maskine". Fodrer man maskinen med forskellige tal, får man andre resultater ud, men man kan ikke putte ''det samme'' tal i "funktions-maskinen" to gange, og få to ''forskellige'' svar ud af den anden ende.
Det tal man "putter i" funktionen (3 i eksemplet ovenfor), kaldes for '''den uafhængige variabel''', og det resultat der kommer ud af funktionen (75 i eksemplet), hedder '''den afhængige variabel''': Den uafhængige variabel; det tal vi putter ind i funktionen, kan man selv vælge. Men det resultat der kommer ud; den afhængige variabel, afhænger nøje af den værdi man vælger for den uafhængige variabel.
I matematikken har man en særlig skrivemåde for funktioner: Det at funktionen "tager imod" tallet 3 og afleverer resultatet 75, skrives sådan her:
:<math>f(3) = 75</math>
Tallene 3 og 75 kan genkendes fra eksemplet. Bogstavet <math>f</math> er et navn på funktionen, eller "maskinen" i eksemplet — hvis man regner med flere forskellige funktioner, giver man dem forskellige navne, typisk <math>g</math>, <math>h</math> osv., så man kan skelne dem fra hinanden.
== Definition ==
Den sammenhæng der er mellem den uafhængige variabel man "putter i" funktionen og den afhængige variabel der kommer ud af det, kaldes for funktionens '''definition'''. Definitionen for en funktion kunne f.eks. være:
:<math>f(x)</math> er det antal kroner man skal give for en <math>x</math> kilometer lang taxi-tur.
Hvis man nu undersøger hvad det koster at køre med taxi (hos et bestemt taxiselskab, på bestemte tider af døgnet og ugen, fordi priserne varierer), finder man f.eks. ud af, at prisen udregnes som et startgebyr på 30 kroner, plus 15 kroner pr. kilometer. Med de oplysninger kan definitionen for sådan en taxi-pris-funktion skrives som:
:<math>f(x) = 30 + 15 \cdot x</math>, hvor <math>x</math> er antal kørte kilometer.
Sådan en definition, der direkte viser det regneudtryk man skal bruge for at omregne den uafhængige variabel <math>x</math> til den afhængige <math>f(x)</math> (prisen for en tur på <math>x</math> kilometer), kaldes for funktionens '''forskrift'''.
== Definitions- og værdimængde ==
Ved hjælp af forskriften for funktionen der beregner prisen for en taxi-tur, kan man nu beregne prisen for køreture på alle mulige — og umulige! — antal kilometer: Som et eksempel på et "umuligt" antal kan man beregne prisen for en køretur på −2 kilometer:
:<math>f(-2) = 30 + 15 \cdot -2 = 30 + -30 = 0</math>
Ifølge den beregning bliver en taxitur altså gratis, hvis man vel at mærke kører præcis 2 kilometer baglæns...! Det bliver det nok lidt svært at overbevise chaufføren om — visse tal kan måske nok bruges sammen med forskriften, men giver ikke "mening" i forhold til det funktionen skal bruges til. I eksemplet med at regne prisen på en taxitur ud, giver det ikke nogen (praktisk) mening at tale om "en køretur på minus to kilometer", eller på 0 kilometer for den sags skyld: Funktionen kan i praksis kun bruges til kilometertal der er større end nul. Sagt på en anden og mere "matematisk" måde: Den uafhængige variabel skal være større end nul kilometer.
Sådan nogle begrænsninger i hvilke tal man kan bruge i rollen som den afhængige variabel, beskriver matematikerne i den såkaldte '''definitionsmængde''': Definitionsmængden for en funktion er den talmængde der omfatter alle de tal man "har lov" til at bruge som uafhængig variabel. I eksemplet med taxi-pris-funktionen bliver definitionsmængden alle positive reelle tal (svarende til alle kilometer-antal større end 0), og det kan skrives på forskellige måder:
:<math>Dm(f) = ]0 ; \infty [</math> (skrevet som interval)
:<math>Dm(f) = \left \{ x \in R \mid \; x > 0 \right \}</math> (skrevet med mængdebygger)
:<math>Dm(f) = \mathbb{R}_+</math> (den positive del af de reelle tal)
Fællestrækket er <math>Dm(f)</math>, som betyder "definitionsmængden til funktionen <math>f</math>" — de tre skrivemåder handler alene om hvordan man rent matematisk skriver "alle tal større end nul".
Da funktionen jo altid giver den samme afhængige variabel som "svar" på det samme tal i den uafhængige variabel, betyder begrænsningerne i definitionsmængden i mange tilfælde også, at der er visse tal man aldrig kan få ud som funktionens afhængige variabel. Dette beskriver matematikerne i den såkaldte '''værdimængde''', som er den talmængde der omfatter ''alle'' de tal det er muligt at "få ud" af funktionen som den afhængige variabel.<br>
I eksemplet med taxi-priserne koster en tur som minimum et startgebyr på 30 kroner, plus kilometertaksten, så prisen bliver altid på mere end de 30 kroner. Værdimængden for taxi-funktionen kan skrives som:
:<math>Vm(f) = ]30 ; \infty [</math> (skrevet som interval)
:<math>Vm(f) = \left \{ x \in R \mid \; x > 30 \right \}</math> (skrevet med mængdebygger)
Igen er fællestrækket til venstre for lighedstegnene; <math>Vm(f)</math> læses som "værdimængden til funktionen <math>f</math>". Det til højre for lighedstegnene er blot to forskellige måder at skrive "alle tal over 30" med matematikkens symboler.
I eksemplet med taxi-funktionens definitionsmængde er det alene taxichaufførens og taxiselskabets "uvilje" mod at køre baglæns, der gør at funktionen kun giver praktisk mening for bestemte tal — i andre tilfælde er det funktionens egen forskrift der sætter grænser for definitionsmængden. Her er en funktion der beregner den fart man skal holde, i kilometer i timen, for at køre én kilometer på <math>x</math> sekunder:
:<math>g(x) = \frac{60}{x}</math>
Kan man køre en kilometer på 0 sekunder? Sætter man nul ind på <math>x</math>'s plads i forskriften, ender man med at skulle dividere 60 med 0, og det kan man ikke — forskriften kan ikke give noget svar! Og hvis man tænker lidt over det, finder man nok ud af at der er visse praktiske problemer med at gøre det i virkeligheden...<br>
Nul kan altså alene af matematiske "problemer" med forskriften, ikke være element (være "med") i definitionsmængden for fart-funktionen <math>g</math>. Og ligesom med taxi-eksemplet kan man dette tilfælde diskutere om man kan komme 2 sekunder ''tilbage'' i tiden ved at køre baglæns i bil med 30 km/t...
== Grafer ==
| |||