Matematik A/Vektorer i planen: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
No edit summary |
Bisgaard (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved Bisgaard, fjerner ændringer fra 212.130.60.200 |
||
Linje 1:
== Definition ==
Alt hvad der har både en retning og en størrelse, kan omtales som en vektor. Det gælder f.eks.:
* Fysiske kræfter
* En hastighed
En vektor noteres som et bogstav, med en pil over. En vektor ''v'' ville noteres som <math>\vec v</math>. En vektor opskrives med koordinater i en matrix.
<math>\vec v = {x \choose y}</math>
Hvilket betyder at vektoren strækker sig x ad x-aksen og y ad y-aksen. Dette danner basis for retningen. Lægger man en trekant ind og opfatter x og y som kateterne i en retvinklet trekant, vil længden af hypotenusen være størrelsen af vektoren.
=== Stedvektor ===
Normalt har en vektor ikke noget egentlig begyndelsespunkt. Men vælger man at arbejde med vektorer der altid starter i Origo - punktet (0,0), omtales de som stedvektorer.Et bestemt
=== Normalvektor ===
En normalvektor er en vektor der står vinkelret på sin egentlige vektor. Disse benævnes også som tværvektorere, og dem ser vi mere på senere i kapitlet.
== Forlængelse ==
Man kan forlænge eller forkorte en vektors længde med faktor n, ved at gange koordinaterne med faktor n. Det betyder algebraisk at,
<math>n \cdot \vec a = {n \cdot x \choose n \cdot y}</math>
Brugen af forlængelse af vektorere bliver bl.a. nødvendigt inden for emnet ''vektorer i rummet''.
== Længde af vektor ==
Opfatter man en vektor som en retvinklet trekant, hvor x og y er længderne på kateterne, så er selve vektoren hypotenusen. Fra geometrien og trigonometrien ved vi at længden på en hypotenuse kan findes ved brug af Pythagoras' læresætning. Sammenfattet betyder det at længden for vektoren:
<math>\vec a = {x \choose y}</math>
Kan findes ved formlen:
<math>| \vec a | = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
Bemærk at man benævner en vektors længde, ved at sætte |-tegn rundt om vektorens navn.
== Addition & subtraktion ==
2 vektorer kan adderes
<math>\vec{a} + \vec{b}</math> dannes ved at afsætte <math>\vec b</math> i forlængelse af <math>\vec a</math>
<math>\left | \vec a + \vec b \right | \le \left | \vec a \right | + \left | \vec b \right |</math> (Trekantsuligheden)
Når man lægger to vektorer sammen, får man en sumvektor. Denne betegnes som regel som ''r''. Man lægger vektorer sammen ved at lægge deres x-koordinater og y-koordinater individuelt sammen. Af dette får du ét nyt x-koordinat og ét nyt y-koordinat, der udgør koordinaterne i sumvektoren. Algebraisk betyder det:
<math>{x_1 \choose y_1} + {x_2 \choose y_2} = {x_1 + x_2 \choose y_1 + y_2}</math>
Ved subtraktion er princippet det samme. Men for en god ordens skyld tager vi alligevel en algebraisk fremvisning:
<math>{x_1 \choose y_1} - {x_2 \choose y_2} = {x_1 - x_2 \choose y_1 - y_2}</math>
Er der tale om mere end to vektorere der skal lægges sammen eller trækkes fra, er princippet det samme med, at x-koordinaterne lægges sammen og y-koordinaterne lægges sammen.
== Skalarprodukt ==
Man kan ikke multiplicere to vektorer og få en ny vektor som resultat. Istedet kan man finde ''skalarproduktet'' (eller prikproduktet) af to vektorer. Resultatet er, som navnet lægger op til, en skalar, altså et tal. For at undgå forvirring må man aldrig sige, at man ganger to vektorer - i stedet "prikker" man dem. Skalarproduktet af to vektorer <math>\vec a={x_1 \choose y_1}</math> og <math>\vec b={x_2 \choose y_2}</math>defineres som:
<math>\vec a \cdot \vec b = {x_1 \choose y_1} \cdot {x_2 \choose y_2} = x_1 \cdot x_2 + y_1\cdot y_2</math>
En anvendelse af skalarproduktet er til at finde en vinkel mellem to vektorer. Der gælder følgende sammenhæng:
<math>\vec a \cdot \vec b = |\vec a ||\vec b|cos(v)</math>
Beviset for sætningen følger af, at skalarproduktet er uafhængigt af det valgte koordinatsystem. Skalarproduktet mellem to vektorer ændrer sig altså ''ikke'', hvis vi roterer koordinatsystemets akser, selvom vektorernes koordinater ændrer sig.
Vi forestiller os nu, at vi drejer koordinatsystemet, så <math>\vec a</math> ligger parralelt med 1. aksen. Den må nu have koordinaterne <math>{|a| \choose 0}</math>.
Hvis vinklen mellem <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math> (i positiv omløbsretning) nu betegnes ''v'', må <math>\vec b</math> have koordinaterne <math>{ \vec |b| \cdot cos(v) \choose \vec |b| \cdot sin(v)}</math>.
Vi kan nu udregne skalarproduktet mellem <math>\vec a</math> og <math>\vec b</math>:
<math>\vec a \cdot \vec b = {|a| \choose 0} \cdot { \vec |b| \cdot cos(v) \choose \vec |b| \cdot sin(v)} = |\vec a ||\vec b|cos(v)</math>
== Tværvektor ==
En tværvektor <math>\hat \vec a</math> er den vektor som fremkommer ved at dreje en vilkårlig vektor 90° mod urets retning (positiv omløbsretning)
Hvis en vektor har koordinatsættet <math>\vec a = {x \choose y}</math> har tværvektoren koordinatsættet <math>\hat \vec a = {-y \choose x}
</math>
== Determinant ==
Et bestemt skalarprodukt skal vise sig at blive meget nyttigt senere hen. Dette kaldes determinanten, og givet to vektorer <math>\vec a={x_1 \choose y_1}</math> og <math>\vec b={x_2 \choose y_2}</math>, defineres determinanten på følgende måde:
<math>det(\vec a, \vec b)=\hat \vec a \cdot \vec b = {-y_1 \choose x_1} \cdot {x_2 \choose y_2} = x_1 \cdot y_2 - x_2\cdot y_1</math>
Det skal understeges at <math>det(\vec a, \vec b) \neq det(\vec b, \vec a)</math>. I stedet gælder det, hvilket man kan overbevise sig selv om ved udregning, at <math>det(\vec a, \vec b) = -det(\vec b, \vec a)</math>.
== Enhedsvektor ==
En vektor med længden 1 er en '''enhedsvektor'''
[[Kategori:Matematik A|Vektorer i planet]]
| |||