Matematik A/Logaritmen: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
No edit summary |
Tilføjet afsnit om logaritmer med vilkårligt grundtal |
||
Linje 43:
Hvor x er det tal, man ønsker at tage den naturlige logaritme til.
==Logaritmen for et vilkårligt n==
For ethvert <math>a>0</math> (hvor a desuden er forskelligt fra 1) er funktionen <math>a^x</math> monoton, og derfor injektiv. Den har derfor en omvendt funktion, som vi benævner <math>log_a(x)</math>. Det gælder altså at <math>y=a^x \Leftrightarrow x=log_a(y)</math>. a kaldes logaritmens grundtal. Man kan overbevise sig selv om, at de kendte logaritmeregneregler gælder for et vilkårligt grundtal. Vi kan også vise, at alle logaritmefunktioner er proportionale med hinanden - altså at det gælder at <math>log_a=k\cdot log_b(x)</math>. I dette eksempel viser vi at <math>log_a(x)</math> er proportional med <math>ln(x)</math> - grunden til at vi vælger denne funktion er, at vi allerede har bevist logaritmeregnereglerne for denne funktion. I princippet kan enhver logaritmefunktion bruges.
<math>x=a^{log_a(x)} \Leftrightarrow</math>
<math>ln(x)=ln(a^{log_a(x)}) \Leftrightarrow</math>
<math>ln(x)=log_a(x)\cdot ln(a)</math>
...og så har vi sådan set vist hvad vi skulle - <math>log_a(x)</math> er proportional med <math>ln(x)</math>, med proportionalitetsfaktoren <math>ln(a)</math>. Omskriver vi lidt får vi:
<math>log_a(x)=\frac{ln(x)}{ln(a)}</math>
...som f.eks. er nyttig hvis man vil udregne en vilkårlig logaritme på en lommeregner der kun kender <math>ln</math> og <math>log_{10}</math>.
[[Kategori:Matematik A|Logaritmen]]
| |||