Matematik A/Differentialregning: Forskelle mellem versioner

Content deleted Content added
Linje 27:
== Differentialkvotient ==
 
For at gøre tingene lidt lettere at indse kan man bringe en eksplicit sammenligning, som nogle måske allerede har indset. Som jeg langsomt er kommet ind på er der nemlig en slående lighed til måden hvorpå man finder hældningen for en ret linje, hvilket jo egentlig også er det vi gør, da tangenten jo er en ret linje. Denne metode, som man bør kende til, skrives på følgende måde:
Når det så kommer til differentialkvotionten er det at vi er interesserede i at finde det tal, som er lig hældningen til denne tangent. Det gør vi således ved at tage forskellen h i y-værdien for uendeligt små ændringer af h. Vi laver altså en grænseværdi, for h gående mod nul.
 
<math> \frac{ \Delta y}{ \Delta x} = \frac{ y_2 - y_2 }{ x_2 - x_1} = \alpha </math>
 
At bruge denne metode er imidlertid alt for upræcis til alt andet end rette linjer. Det er netop derfor at man laver en grænseværdi i stedet. For det med at trække slutværdien fra startværdien er sådan set en god nok metode, det skal bare gøres for uendeligt små ændringer af x hvilket vil gøre hældningen uendeligt præcis. Som bekendt er y = f(x) og når man lader h gå mod nul, altså gør ændringen i x uendeligt lille fremkommer en grænseværdi, som ser således ud. Man skal selvfølgelig abstrahere fra at der står h i stedet for x, men det gøres for at fremhæve at det er forskellen i x.
 
<math>\frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x + h) - f(x)}{h}</math>
 
Når man laver uendeligt små ændringer i en variabel, skriver man per definition d i stedet for <math>\Delta</math>.
Og dette er den endelige definition på differentialkvotient. Uanset hvilken funktion du indsætter i denne formel, vil du kunne finde frem til en differentialkvotient for denne, under den forudsætning at '''funktionen er kontinuert i sin definitionsmængde naturligvis''' naturligvis (se kontinuitet for yderligere forklaring).
 
Men lad os tage et eksempel for at se principperne i fremgangsmåden for brugen af denne formel. Det skal dog dertil siges at ikkelangt fra alle funktioner er ligetiltil at gennemskue uden videre, men vi tager her et simpelt eksempel:
 
<math> y = x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ (x + h)^2 - (x)^2 }{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ x^2 + h^2 + 2xh - x^2 }{h} = \lim_{h \rightarrow 0} h + 2x = 2x </math>