Matematik A/Differentialregning: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Bisgaard (diskussion | bidrag) m kat |
No edit summary |
||
Linje 2:
== Definition ==
Differentialregning er en del af den såkaldte ''infinitesimalregning'', som dybest set vil sige den del af matematikken som beskæftiger sig med uendelig små ændringer af værdier.
Det man kan bruge differentialregningen til er i bund og grund at finde '''hældningen til en tanget i et punkt på kurven'''. Det lyder umiddelbart værre end det egentlig er, men lad os da først og fremmest gennemgå hvad en tangent er, for at få dybere forståelse for sætningen. Inden vi dog når så langt bliver vi nødt til at definere en sekant, idet tangenten i princippet er et specialtilfælde af sekanten.
===
[[Billede:Secant-calculus.png|thumb|Et vilkårligt eksempel på en sekant]]
En sekant er en linje der skærer en kurve i minimum to punkter. Disse to punkter vælger vi at beskrive:
<math>\left( x , f (x) \right)</math> og <math>\left( (x+h) , f (x+h)\right)</math>
Det vil altså sige at vi med sekanten tager udgangspunkt i to skæringspunkter, men såfremt der eksempelvis eksempelvis er tale om et tredjegradspolynomium kan den altså principielt godt skære flere steder.
Disse linjer forekommer dog ret uinteressante for os, når vi taler om differentialregning, så vi bevæger os relativt hurtigt videre til tangenter.
=== Tangenter ===
En tangent er blot en linje der skærer en kurve i ét punkt, men til gengæld er der et vist krav for hvordan den skærer. Vi kan jo tage udgangspunkt i tangentens ligning:
<math>f(x) - f(x_0) = \alpha \cdot (x - x_0)</math>
Som vi kan se skal tangenten altså udpsringe fra et punkt på kurven, samt at den skal have samme hældning som punktet.
Det man så i princippet gør, er at man fastholder sekantens ene skæringspunkt i det punkt man ønsker at finde hældningen i, og så lader man h gå mod nul. For når h hår mod nul i sekantens "ligning" får man jo netop tangenten i punktet, da h=0 er ensbetydende med at sekanten kun skærer i ét punkt på linjen, som altså er ensbetydende med at vi har at gøre med en tangent.
Situationen er illustreret på tegningen til højre.
[[Billede:Lim-secant.png|thumb|h går mod nul i "sekantens ligning"]]
== Differentialkvotient ==
Når det så kommer til differentialkvotionten er det at vi er interesserede i at finde det tal, som er lig hældningen til denne tangent. Det gør vi således ved at tage forskellen h i y-værdien for uendeligt små ændringer af h. Vi laver altså en grænseværdi, for h gående mod nul.
<math>\frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x + h) - f(x)}{h}</math>
Og dette er den endelige definition på differentialkvotient. Uanset hvilken funktion du indsætter i denne formel, vil du kunne finde frem til en differentialkvotient for denne, under den forudsætning at ''funktionen er kontinuert i sin definitionsmængde naturligvis''.
Men lad os tage et eksempel for at se principperne i fremgangsmåden for brugen af denne formel. Det skal dog dertil siges at ikke alle funktioner er ligetil, men vi tager her et simpelt eksempel:
<math> y = x^2 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ (x + h)^2 - (x)^2 }{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ x^2 + h^2 + 2xh - x^2 }{h} = \lim_{h \rightarrow 0} h + 2x = 2x </math>
Hvilket også stemmer overens med den generelle formel nedenfor under potensfunktioner. Denne kan tilsvarende udledes generelt.
== Tre-trins reglen ==
== Den rette linje ==
Den rette linje er givet ved:
<math> f(x) = a\cdot x + b </math>
Allerede rent intuitivt bør man vide at hældningen til den rette linje er givet ved konstanten foran a. Den rette linje er således blot et specialtilfælde af <math>x^n</math>, hvor det gælder at:
<math>\frac{d}{dx} f(x) = a</math>
== Potensfunktioner ==
Line 19 ⟶ 59:
<math>f^{\prime}(x)=n \cdot x^{n-1}\,</math>
==Kvadratroden af x==
Udfra potensfunktion kan man altså endvidere se at <math>\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}</math> er lig med
<math>\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-1}{2}} = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}} </math>
== Trigonometriske funktioner ==
| |||