|
== Formler ==
=== Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter ===
Hvis man har 2 punkter <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math> kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne <math>a</math> og <math>b</math>. De beregnes på følgende måde:
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
<math>b=\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
For at undgå eventuelle misforståelser ved beregningen af a, så skal man altså trække x<sub>2</sub> fra x<sub>1</sub>. Det tal, som man får her, skal man tage som rod af resten. Hvis man for eksempel får 3, så skal man tage den 3. rod af y<sub>2</sub> divideret med y<sub>1</sub>.
''Bevis:''
Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, dvs. en funktion, der skrives på formen
<math>f(x) = b \cdot a^x</math>
hvor man skal regne ud hvad <math>a</math> og <math>b</math> er.
Da <math>f(x)</math> skal gå gennem <math>(x_1, y_1)</math> og <math>(x_2, y_2)</math>, skal følgende ligninger gælde:
<math>\begin{array}{l} f(x_1)=y_1 \\ f(x_2)=y_2 \end{array}</math>
Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås
<math>\begin{array}{l} b\cdot a^{x_1}=y_1 \\ b\cdot a^{x_2}=y_2 \end{array}</math>
Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere <math>b</math>:
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
Da vi har 2 udtryk for <math>b</math>, kan disse sættes sammen:
<math>\frac{y_1}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{a^{x_2}}</math>
Og så isoleres <math>a</math>:
<math>a^{x_2} \cdot y_1=a^{x_1}\cdot y_2</math>
<math>a^{x_2}=a^{x_1}\cdot \frac{y_2}{y_1}</math>
<math>\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=\frac{y_2}{y_1}</math>
<math>a^{x_2-x_1}=\frac{y_2}{y_1}</math>
<math>a=\sqrt[{x_2-x_1}]{\frac{y_2}{y_1}}</math>
Værdien <math>b</math> beregnes ved at indsætte <math>a</math>-værdien i en af de 2 forskrifter.
<math>\begin{array}{l} b=\frac{y_1}{a^{x_1}} \\ b=\frac{y_2}{a^{x_2}} \end{array}</math>
Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.
[[Kategori:Matematik A|Eksponentielle Funktioner]]
| 