Matematik A/Tal og mængder: Forskelle mellem versioner
Content deleted Content added
Bisgaard (diskussion | bidrag) m Gendannelse til seneste version ved 80.199.145.37, fjerner ændringer fra 83.95.191.32 |
påbegynder en større omskrivning af kapitlet |
||
Linje 7:
Tallenes udvikling er lang og indviklet, men i hovedtræk kan den beskrives således: I starten havde man kun hele positive tal. Man kendte hverken til negative tal eller 0, og mange steder ej heller til deling (division) af et tal. Alt dette er noget, der først er indført gennem matematikkens historie, ofte for at kunne løse bestemt problemstillinger.
== Beskrivelse af mængder ==
En mængde er noget der kan indeholde objekter. Objekterne i en mængde kaldes for mængdens elementer. Her i bogen vil du nok mest støde på mængder der indeholder tal, men man kan også sagten have mængder der indeholder andre objekter, som f.eks. spillekort, personer, andre mængder, farver og alle mulige andre ting man kan komme i tanker om.
Eksempler på mængder, hvis elementer er tal, er mængden af hele tal fra 1 til 20, mængden af primtal under 100 eller mængden af alle ulige tal, som indeholder et uendeligt antal elementer.
== Grundlæggende mængder ==
Man arbejder i matematikken med en række normale kendte mængder, som har deres egne navne og betegnelser, som vi vil gennemgå her.
* <math>\mathbb{Z}</math>: De hele tal. Alle hele tal. Dvs. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, osv.▼
* <math>\mathbb{C}</math>: De komplekse tal. Tal på formen <math>a+ib</math>, hvor a og b er reelle tal og i den imaginære enhed.▼
* <math>\emptyset</math>: Er den tomme mængde. Altså mængden uden elementer. Den bruges for eksempel i forbindelse med opgaver der ikke har nogen løsning.▼
=== De naturlige tal ===
For de seks første mængder gælder det, at de er indeholdt i hinanden - alle de naturlige tal findes i de hele tal, alle de reelle er også komplekse, osv. ▼
De naturlige tal betegnes med et <math>\mathbb{N}</math>, og er alle de hele og positive tal, dvs. fra en og opefter.
Der findes flere mængder og flere typer af tal. Men disse kommer vi ikke ind på i dette kapitel.▼
:<math>\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}</math>
Nogle gange bruger man også mængden af de naturlige tal inklusiv nul, som betegnes <math>\mathbb{N}_0</math>. Den indeholder som angivet alle tallene fra de naturlige tal, og så nul:
:<math>\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}</math>
=== De hele tal ===
De hele tal, betegnes <math>\mathbb{Z}</math>, og indeholder alle hele tal, hvilket også inkluderer hele negative tal og nul.
▲
=== De rationale tal ===
De rationale tal, betegnes <math>\mathbb{Q}</math>, indeholder alle tal der kan skrives som <math>\frac{p}{q}</math> hvor <math>p \in \mathbb{Z}</math> og <math>q \in N</math>. Det er med andre ord alle de tal, der kan skrives som en brøk, hvor tælleren er et helt tal, (gerne negativt eller nul) og nævneren er et positivt helt tal.
De rationale tal kan ikke rigtig skrives op i rækkefølge, som de tidligere nævnte mængder, for mellem hvert par af rationale tal, findes uendelig mange andre rationale tal.
Det er dog muligt at give en masse eksempler på rationale tal: 1/4, 3 = 3/1, 11/16, -1/4, 1234/56789.
Løst sagt kan man sige at rationale tal, er de tal der kan skrives som brøker.
=== De reelle tal ===
De rationale tal, betegnes <math>\mathbb{R}</math>, indeholder alle tal inklusive rationale tal, og irrationale tal, der ikke kan skrives som brøker (så som <math>\sqrt{2}</math> og <math>\pi</math>).
Mængden af reelle tal indeholder hele tallinjen.
=== De komplekse tal ===
▲
De komplekse tal vil ikke blive beskrevet nærmere i denne bog i første omgang. Interesserede kan evt. se [[w:Komplekse tal|Wikipedias artikel om komplekse tal]].
=== Den tomme mængde ===
▲
== Mængdernes relationer ==
▲For de seks første mængder gælder det, at de er indeholdt i hinanden - alle de naturlige tal findes i de hele tal, alle de reelle er også komplekse, osv. Relationerne kan beskrives således:
:<math>\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}</math>
▲Der findes flere mængder og flere typer af tal. Men disse kommer vi ikke ind på i
==Regning med mængder==
| |||