Matematik A/Vektorer i rummet

Definition

En vektor i rummet, er en vektor der i modsætning til en vektor i planet, også har z-koordinatet. En rummelig vektor noteres som:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ eller ${\vec {a}}=(x,y,z)$

Definitionen bevares dog, nemlig at en vektor er noget der har størrelse og retning.

Længde af vektor

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$

Kan findes ved formlen:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Bemærk at man benævner en vektors længde, ved at sætte |-tegn rundt om vektorens navn.

Skalarprodukt (prikprodukt)

Ved skalarproduktet ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ af to vektorer

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}$ og ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}$

forstår man tallet:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Afstand punkt til linje

Afstanden fra punktet P til linjen l gennem P₀ med retningsvektor ${\vec {r}}$ er dist(P,l) = $|{\vec {r}}\times {\vec {P_{0}P}}| \over |{\vec {r}}|$

Afstand fra punkt til plan

Afstanden fra punktet P₁(x₁,y₁,z₁) til planen α med ligning $a*x+b*y+c*z+d=0$

er

dist(P₁,α) = $|a*x_{1}+b*y_{1}+c*z_{1}+d| \over {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$