Matematik A/Ligninger

Introduktion

En ligning er to udtryk stillet op mod hinanden, som begge er lig hinanden. Som oftest når man taler om en ligning er der også tale om en variabel, dvs. et ikke-konstant tal. Her ses to forskellige eksempler på ligninger:

$6=3\cdot 2$

eller

$2\cdot x=8$

Der findes imidlertid også andre udtryk som ikke er ligninger, hvor lighedstegnet er indblandet. disse ligger dog ikke inden for pensum for matematik A. Et eksempel kunne være en såkaldt absurditet, og vil sjældent blive omtalt:

$4=6+3$

Der findes dog alligevel mange forskellige typer af ligninger, nogle få af dem vil blive omtalt

Andengradsligninger

En andengradsligning er, som navnet angiver, en ligning eller et polynomium af grad to. Det vil sige at den største potens et tal er opløftet til er 2. I praksis ser det generelle udtryk således ud:

$a\cdot x^{2}+b\cdot x+c=0$

Navnet for den graf som andengradsligningen danner kaldes en parabel, og har den karakteristik at det skærer y-aksen i $\left(0,c\right)$ og x-aksen enten nul, én eller to steder.

Den generelle løsningsformel for hvor andengradsligningen skærer x-aksen er som følger:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2\cdot a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot a}}$, hvor D kaldes diskriminanten.

Allerede inden beregning vides det, at:

• D > 0 betyder to reelle løsninger
• D = 0 betyder en reel løsning
• D < 0 betyder nul reelle løsninger

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\Leftrightarrow$

$4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac\Leftrightarrow$

$4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\Leftrightarrow$

Vi kalder nu størrelsen $hejdugrimb^{2}-4ac$ for D, og bruger en kvadratsætning på venstre side af lighedstegnet:

$(2ax+b)^{2}=D\Leftrightarrow$

$2ax+b=\pm {\sqrt {D}}\Leftrightarrow$

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

Specialtilfælde

1) $c=0$:

$a\cdot x^{2}+b\cdot x=0\Leftrightarrow x(a\cdot x+b)=0$

Dette giver følgende to løsninger: $\left(x=0\right)\vee \left(a\cdot x+b=0\Leftrightarrow x={\frac {-b}{a}}\right)$

2) $b=0$:

$a\cdot x^{2}+c=0\Leftrightarrow a\cdot x^{2}=-c$

Dette giver løsningerne: $x={\sqrt {\frac {-c}{a}}}\vee x=-{\sqrt {\frac {-c}{a}}}$

Faktorisering af andengradspolynomiet

Vi benævner de to løsninger til et givet andengradspolynomium s og t - det kan evt. være tilfældet at s=t. Vi ønsker nu at vise, at andengradspolynomiet kan faktoriseres til $a(x-s)(x-t)$. Beviset går som følger:

$f(x)=a(x-s)(x-t)\Leftrightarrow$

$f(x)=a(x^{2}-(s+t)x+st)\qquad (1)$

Vi substituerer nu s og t med løsningsformlens udtryk for rødderne: $s={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}$ og $t={\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}$ I udtrykket (1) indgår både summen og produktet af rødderne, så dem udregner vi på forhånd:

$s+t={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}+{\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}={\frac {-b}{a}}$

$s\cdot t={\frac {-b+{\sqrt {d}}}{2a}}\cdot {\frac {-b-{\sqrt {d}}}{2a}}={\frac {b^{2}-d}{4a^{2}}}={\frac {b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}}={\frac {c}{a}}$

Dette indsættes nu i (1):

$f(x)=a(x^{2}-(s+t)x+st)=a(x^{2}-{\frac {-b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=ax^{2}+bx+c$

Vi har hermed vist, hvordan andengradspolynomiet kan faktoriseres, hvis man kender dets rødder. Dette er nyttigt til f.eks. at forkorte brøker.

Tredjegradsligninger

Tredjegradsligninger er ganske simpelt ligninger af tredje grad, eller sagt på en anden måde, den højeste eksponent/potens er lig 3. Det generelle eksempel ser således ud:

$a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d=0$

Husk på at konstanten på højre side af lighedstegnet altid kan trækkes over, således at der bliver dannet et nyt udtryk. Hvis udtrykket på højre side af lighedstegnet er af større grad end det på venstre side, er der logisk nok ikke længere tale om en tredjegradsligning.

Det ovenstående eksempel på en tredjegradsligning kan, selvom der sættes tal ind, ikke uden videre løses i hånden. Ikke desto mindre forventes det ikke på matematik A. Det kan kun gøres numerisk ved hjælp af computer, eller lommeregner. Der findes dog udgaver af tredjegradsligningen som kan løses. Eksempel:

$4\cdot x^{3}+5\cdot x^{2}+3\cdot x=\left(4\cdot x^{2}+5\cdot x+3\right)x=0$

Som det ses er det lykkedes at omskrive udtrykket til en andengradsligning, hvor nul-reglen kan tages i brug. Denne er også brugt ovenfor ved andengradsligningen.

For tredjegradsligningen vil der altid være minimum én og højst tre reele løsninger!