Matematik A/Eksponentielle Funktioner

Eksponentielle funktioner anvendes bl.a. til at beskrive eksponentielle udviklinger, der foregår over tid. Det kunne for eksempel være rentetilskrivning af formue eller gæld, hvor renten er fast. Det kan også bruges til at regne befolkningstal ud med.

Definition

En funktion er en eksponentiel vækstfunktion, når man har en koefficient gange en potens, hvor eksponenten er den uafhængige variabel. Forskriften for en eksponentiel funktion er

$f(x)=b\cdot a^{x}\,$

hvor $b$ kaldes begyndelsesværdien og $a$ kaldes fremskrivningsfaktoren.

Begyndelsesværdien er det punkt, hvor funktionen skærer y-aksen. Med andre ord, funktionen går altid gennem $(0,b)$. Dette ses ved at udregne funktionsværdien når $x=0$, dvs. ved y-aksen:

$f(0)=b\cdot a^{0}=b\cdot 1=b$

En eksponentialfunktion er en funktion, der kan skrives på formlen

$f(x)=a^{x}\,$

Det ses, at en eksponentialfunktion også er en eksponentiel vækstfunktion (da hvis man sætter $b=1$ får man en eksponentialfunktion), men ikke alle eksponentielle vækstfunktioner er eksponentialfunktioner.

Udseende

Eksponentielle funktioner kan se vidt forskellige ud, alt efter hvilke værdier $a$ og $b$ har.

• Hvis 0 < a < 1, vil funktionen være eksponentielt aftagende.
• Hvis a > 1, vil funktionen være eksponentielt voksende.

Formler

Bestemmelse af en eksponentiel funktion, der går gennem 2 punkter

Hvis man har 2 punkter $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$ kan man beregne hvilken eksponentialfunktion, der går gennem disse 2 punkter, dvs. beregne $a$ og $b$. De beregnes på følgende måde:

$a={\sqrt[{x_{2}-x_{1}}]{\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$

$b={\frac {y_{1}}{a^{x_{1}}}}={\frac {y_{2}}{a^{x_{2}}}}$

For at undgå eventuelle misforståelser ved beregningen af a, så skal man altså trække x₂ fra x₁. Det tal, som man får her, skal man tage som rod af resten. Hvis man for eksempel får 3, så skal man tage den 3. rod af y₂ divideret med y₁.

Bevis:

Vi vil finde eksponentialfunktionen, der går gennem punkterne $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$, dvs. en funktion, der skrives på formen

$f(x)=b\cdot a^{x}$

hvor man skal regne ud hvad $a$ og $b$ er.

Da $f(x)$ skal gå gennem $(x_{1},y_{1})$ og $(x_{2},y_{2})$, skal følgende ligninger gælde:

${\begin{array}{l}f(x_{1})=y_{1}\\f(x_{2})=y_{2}\end{array}}$

Forskriften for den eksponentelle funktion indsættes. Så fås

${\begin{array}{l}b\cdot a^{x_{1}}=y_{1}\\b\cdot a^{x_{2}}=y_{2}\end{array}}$

Vi har nu 2 ligninger med 2 ubekendte. Vi starter med at isolere $b$:

${\begin{array}{l}b={\frac {y_{1}}{a^{x_{1}}}}\\b={\frac {y_{2}}{a^{x_{2}}}}\end{array}}$

Da vi har 2 udtryk for $b$, kan disse sættes sammen:

${\frac {y_{1}}{a^{x_{1}}}}={\frac {y_{2}}{a^{x_{2}}}}$

Og så isoleres $a$:

$a^{x_{2}}\cdot y_{1}=a^{x_{1}}\cdot y_{2}$

${\frac {a^{x_{2}}\cdot y_{1}}{y_{1}\cdot a^{x_{1}}}}={\frac {a^{x_{1}}\cdot y_{2}}{y_{1}\cdot a^{x_{1}}}}$

${\frac {a^{x_{2}}}{a^{x_{1}}}}={\frac {y_{2}}{y_{1}}}$

$a^{x_{2}-x_{1}}={\frac {y_{2}}{y_{1}}}$

$a={\sqrt[{x_{2}-x_{1}}]{\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$

Værdien $b$ beregnes ved at indsætte $a$-værdien i en af de 2 forskrifter.

${\begin{array}{l}b={\frac {y_{1}}{a^{x_{1}}}}\\b={\frac {y_{2}}{a^{x_{2}}}}\end{array}}$

Det er lige gyldigt hvilken en, da de er lig med hinanden.