Matematik A/Differentialregning

Differentialregning er i matematikken en metode til at bestemme hældningen på en graf, i et udvalgt punkt.

Definition

Differentialregning er en af den såkaldte infinitesimalregning, som dybest set vil sige den del af matematikken som beskæftiger sig med uendelig små ændringer af værdier. Det man kan bruge differentialregningen til er i bund og grund at finde hældningen til en tangent i et punkt på kurven. Det lyder umiddelbart værre end det egentlig er, men lad os da først og fremmest gennemgå hvad en tangent er, for at få dybere forståelse for sætningen. Inden vi dog når så langt bliver vi nødt til at definere en sekant, idet tangenten i princippet er et specialtilfælde af sekanten.

Sekanter

Et vilkårligt eksempel på en sekant

En sekant er en linje der skærer en kurve i minimum to punkter. Disse to punkter vælger vi at beskrive: $\left(x,f(x)\right)$ og $\left((x+h),f(x+h)\right)$

Det vil altså sige at vi med sekanten tager udgangspunkt i to skæringspunkter, men såfremt der eksempelvis er tale om et tredjegradspolynomium kan den altså principielt godt skære flere steder. Disse linjer forekommer dog ret uinteressante for os, når vi taler om differentialregning, så vi bevæger os relativt hurtigt videre til tangenter.

Tangenter

En tangent er blot en linje der skærer en kurve i ét punkt, men til gengæld er der et vist krav for hvordan den skærer. Vi kan jo tage udgangspunkt i tangentens ligning: $f(x)-f(x_{0})=\alpha \cdot (x-x_{0})$

Som vi kan se skal tangenten altså udspringe fra et punkt på kurven, samt at den skal have samme hældning som punktet. Det man så i princippet gør, er at man fastholder sekantens ene skæringspunkt i det punkt man ønsker at finde hældningen i, og så lader man h gå mod nul. For når h går mod nul i sekantens "ligning" får man jo netop tangenten i punktet, da h=0 er ensbetydende med at sekanten kun skærer i ét punkt på linjen, som altså er ensbetydende med at vi har at gøre med en tangent. Situationen er illustreret på tegningen til højre.

h går mod nul i "sekantens ligning"

Differentialkvotient

For at gøre tingene lidt lettere at indse kan man bringe en eksplicit sammenligning, som nogle måske allerede har indset. Som jeg langsomt er kommet ind på er der nemlig en slående lighed til måden hvorpå man finder hældningen for en ret linje, hvilket jo egentlig også er det vi gør, da tangenten jo er en ret linje. Denne metode, som man bør kende til, skrives på følgende måde:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}=\alpha$

At bruge denne metode er imidlertid alt for upræcis til alt andet end rette linjer. Det er netop derfor at man laver en grænseværdi i stedet. For det med at trække slutværdien fra startværdien er sådan set en god nok metode, det skal bare gøres for uendeligt små ændringer af x hvilket vil gøre hældningen uendeligt præcis. Som bekendt er y = f(x) og når man lader h gå mod nul, altså gør ændringen i x uendeligt lille fremkommer en grænseværdi, som ser således ud.

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Når man laver uendeligt små ændringer i en variabel, skriver man per definition d i stedet for $\Delta$. Og dette er den endelige definition på differentialkvotient. Uanset hvilken funktion du indsætter i denne formel, vil du kunne finde frem til en differentialkvotient for denne, under den forudsætning at funktionen er kontinuert i sin definitionsmængde naturligvis (se kontinuitet for yderligere forklaring).

Men lad os tage et eksempel for at se principperne i fremgangsmåden for brugen af denne formel. Det skal dog dertil siges at langt fra alle funktioner er til at gennemskue uden videre, men vi tager her et simpelt eksempel:

$y=x^{2}\Rightarrow {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-(x)^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+\Delta x^{2}+2x\Delta x-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\Delta x+2x$ = 2x

Hvilket også stemmer overens med den generelle formel nedenfor under potensfunktioner. Denne kan tilsvarende udledes generelt.

Tre-trins reglen

1) Opskriv differenskvotienten 2) Reducer differenskvotienten mest muligt 3) Bestem grænseværdien af den reducerede differenskvotient når delta x -> 0

Regneregler for differentialkvotient

Hvis $f(x)$ og $g(x)$ er differentiable funktioner, kan man opstille og vise følgende regler:

$(f(x)+g(x))^{\prime }={\frac {d(f(x)+g(x))}{dx}}={\frac {d(f(x))}{dx}}+{\frac {d(g(x))}{dx}}=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$

$(f(x)-g(x))^{\prime }={\frac {d(f(x)-g(x))}{dx}}={\frac {d(f(x))}{dx}}-{\frac {d(g(x))}{dx}}=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$

$(f(x)\cdot g(x))^{\prime }={\frac {d(f(x)\cdot g(x))}{dx}}=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$

$\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)^{\prime }={\frac {d({\frac {f(x)}{g(x)}})}{dx}}={\frac {f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g(x)^{2}}}$

Den sidste regel holder kun når g(x) er forskellige fra 0.

Den rette linje

Den rette linje er givet ved:

$f(x)=a\cdot x+b$

Hældningen til den rette linje er givet ved konstanten foran a. Den rette linje er således blot et specialtilfælde af $x^{n}$, hvor det gælder at:

${\frac {d}{dx}}f(x)=a$

Potensfunktioner

Har man en funktion givet ved:

$f(x)=x^{n}\,$

Er funktionens differentialkvotient givet ved:

$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}\,$

Kvadratroden af x

Udfra potensfunktion kan man altså endvidere se at ${\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}$ er lig med

${\frac {d\left({\sqrt {x}}\right)}{dx}}={\frac {1}{2}}\cdot x^{-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x}}}}$

Trigonometriske funktioner

${\frac {d(\sin(x))}{dx}}=\cos(x)$

${\frac {d(\cos(x))}{dx}}=-\sin(x)$

${\frac {d(\tan(x))}{dx}}=1+\tan ^{2}(x)=1+(\tan(x))^{2}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$

Logaritmiske funktioner

Ved log menes her 10-tals logaritmen, og ved ln refereres der til den naturlige logaritme med Eulers tal som grundtal (2,718281828...)

${\frac {d(\log(x))}{dx}}={\frac {1}{x\cdot \ln(10)}}$

${\frac {d(\ln(x))}{dx}}={\frac {1}{x\cdot \ln(e)}}={\frac {1}{x}}$