Beregning af detailpunkter fra kendt punkt

I det følgende gennemgås et eksempel på dokumentationen for beregning af en opstilling i et kendt punkt. Eksemplet tager udgangspunkt i en udskrift fra LandCAD, men principperne bag dokumentationen vil være den samme uanset hvilket landmålingsprogram, der anvendes.

INDDATA:

Inddata til beregning af detailpunkter fra et kendt punkt er observationer i form af retninger, afstande og vertikalvinkler til detailpunkterne samt udgangsretningen/udgangsretningerne. Endvidere skal der være koordinater til opstillingspunktet samt til samtlige udgangsretninger i et givet koordinatsystem.

Ud af ovenstående eksempel kan vi se, at der er stillet op i punkt 1005, og vi kan se koordinaterne til punktet i form af Y, X og Z-koordinater. I dette eksempel er anvendt UTM-koordinater, hvor rækkefølgen af koordinaterne bliver Northing, Easting og koten. Northingkoordinaten er 6.190.541,629m, eastingkoordinaten er 554799,828m og koten er 0,944m.

Der er to udgangsretninger, nemlig til punkterne 1004 og 1003. Da vi kun behøver en udgangsretning, er opstillingen overbestemt.

Vi kan se koordinaterne til punkterne 1004 og 1003, samt vi kan se retningen, den vandrette afstand og højdeforskellen mellem instrumentet og prismet målt fra punkt 1005 mod hhv. punkt 1004 og 1003. Den målte retning fra punkt 1005 til 1004 er 100,009 gon, den vandrette afstand er 64,833m og højdeforskellen mellem instrument og prisme er målt til 0,568m.

UDDATA:

Da opstillingen er overbestemt, bliver der udregnet rettelser til udgangsretningerne. Hvis vi først kigger på afstandsafvigelsen, så kan vi se, at der er en afstandsafvigelse på -0,023m på afstanden fra punkt 1005 til punkt 1004. Denne afvigelse er beregnet ved at beregne afstanden mellem de givne koordinater punkterne 1005 og 1004 ved hjælp af afstandsformlen. Afstanden er 64,810 m. Den målte vandrette afstand er imidlertid 64,833m, hvilket giver afstandsafvigelsen på -0,023m.

Der er også beregnet en afstandsafvigelse til punkt 1003 på samme måde. Denne afvigelse er på -0,001m.

Ideelt set burde der ikke være en afstandsafvigelse. Hvis vi havde et instrument eller målemetode, der kunne måle helt nøjagtigt, ville vi måle den rigtige afstand mellem opstillingspunktet og udgangsretningen.

Afvigelsen fremkommer som følge af de tilfældige fejl, der er ved afstandmålingen. Afvigelsen kan også skyldes en grov fejl i målingen af udgangsretningen eller i opstillingspunktets eller udgangsretningens koordinatsæt.

Hvor stor må afstandsafvigelsen så være, for at vi kan tilskrive den til de tilfældige fejl?

Vi ved fra fejlteorien hvor præcist vi kan måle en afstand. Ved at anvende forplantningsloven (også kaldet fejlophobningsloven) kan vi beregne middelfejlen for en afstand. Fejlforplantningsloven giver ikke nøjagtigheden for en konkret måling, men angiver den generelle nøjagtighed for en afstand, når vi har angivet apriorimiddelfejlene for instrumentet og centreringen.

Fejlforplantningsloven udtrykker målingens kvalitet i middelfejl. Ved anvendelse af et nyere instrument og ved ombyggelighed ved opstilling over opstillingspunktet, ved indstilling af kikkerten på prismet og med at holde prismet lodret, vil middelfejlen på en afstand være ca. 5mm. Ved mindre ombyggelighed ved opstilling af instrumentet, ved indstilling på prismet og med at holde prismet lodret, vil middelfejlen stige til ca. 10-15mm.

Afstandsafvigelsen skal ligge inden for 2,5 gange middelfejlen, som kaldes grovfejlgrænsen. Dvs. afstandsafvigelsen bør være mindre end ca. 13mm ved en omhyggelig måling, og ca. 25-38mm ved en mindre omhyggelig måling.

Disse tommelfingerværdier forudsætter, at de anvendte fiks- og hovedpunkter er fejlfrie.

Er afstandsafvigelserne større end ovennævnte værdier, er det et tegn på, at der er en grov fejl i observationen, og denne bør udelades.

Nogle landmålingsprogrammer angiver en målestoksfaktor i stedet for en afstandsafvigelse. Målstoksfaktoren beregnes ved at dividere den målte afstand op i den beregnede afstand. Ideelt set bør målstoksfaktoren derfor blive 1, idet den målte afstand ideelt set skulle være lig med den beregnede. Analysen af målstoksfaktoren kan gøres ved at gange den med 100 - f.eks. hvis målstoksfaktoren er 1,000150, bliver den 100,0150, hvilket betyder, at hvis der er målt 100,000m, er rettelsen 1,5cm.

Retningsafvigelserne fremkommer som afstandsafvigelserne af forskellen mellem på den ene side koordinaterne til opstillingspunktet og udgangsretningerne, og på den anden side de foretagne observationer.

Ud fra koordinaterne til opstillingspunktet og udgangsretningerne samt de målte retninger til udgangsretninger, kan man beregne retningsvinklen til nulretningen. Derudfra kan man så beregne den retning, som der "burde" være målt. Retningen fra punkt 1005 til punkt 1004 kan ud fra koordinaterne beregnes til 100,014, men den målte retning er kun 100,009gon, hvilket giver retningsafvigelsen på 0,005gon.

På samme måde har programmet regnet retningsafvigelsen fra punkt 1005 til punkt 1003 til -0,004gon.

Igen kan vi bruge fejlforplantningsloven til at beregne middelfejlen af en retning på ca. 64m og ca. 79m (afstanden af retningerne fra punkt 1005 til hhv. punkt 1004 og punkt 1003).

Vi ved fra fejlteorien, at nøjagtigheden af en retning afhænger af dens længde. Jo længere en retning er, jo mere præcis bliver den. Eller sagt med andre ord, falder middelfejlen jo længere retningen er.

Det er umuligt at sætte en tommelfingerregl for middelfejlen på en retning, idet den varierer meget afhængigt af afstanden fra instrumentet til prismet. Derfor må man enten beregne middelfejlen fra gang til gang. Og derefter kontrollere, at retningsafvigelsen ikke overstiger 2,5 gange middelfejlen for retningen (grovfejlsgrænsen)

Alternativt kan man tage sinus til retningsafvigelsen og gange den med den målte afstand, hvorved man får afstanden mellem den beregnede retning og den målte retning et fra prismet. Denne afstand bør være mindre end 25mm for retninger under 200m ved en omhyggelig måling, og 40mm ved en mindre omhyggelig måling. Retningsafvigelsen for punkt 1004 kan efter ovenstående beregnes til 5mm, og holder sig derfor inden for fejlgrænsen.

Endeligt beregnes koten til opstillingspunktet, hvis der er angivet en instrumenthøjde og en kote til opstillingspunktet.

Først skrives den opgivne kote til opstillingspunktet - i ovenstående eksempel 0,942m. Derefter beregnes koten til opstillingspunktet fra udgangsretningerne ved at tage koten til udgangsretningen+prismehøjden-den målte højdeforskel-instrumenthøjden - dvs. koten til punkt 1005 beregnet ud fra punkt 1004 bliver 2,150+1,300-0,888-1,62=0,942. Endeligt er koten til opstillingspunktet beregnet ud fra punkt 1003.

Den endelige kote til opstillingspunktet beregnes som gennemsnittet af de beregnede koter.

Den største kotedifferens er igen en afvigelse, som man må vurdere på. Ifølge fejlforplantningsloven er der en middelfejl på ca. 15mm for sigter op til ca. 200m ved anvendelse af et nyere instrument. Derfor bør koteafvigelsen ikke overstige 40mm (ca. 2,5*15mm).

Den sidste del af filen viser de detailpunkter, der er indmålt fra opstillingen og som der er beregnet koordinater til. F.eks. kan vi se, at punkt 2672 er indmålt fra punkt 1005. Retningen er målt til 343,910gon, den vandrette afstand er målt til 71,694 og højdeforskellen mellem instrument og prisme er målt til -1,092. Det betyder, at punktet får koordinaterne N=6.190.579,582, E=554.860,653 og Z=1.088.